Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x³-a）（a∈R）在（-3，0）單調(diào)遞減，則a的范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [2，4]
• C． [4，+∞）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥x³+3x²在（-3，0）恒成立，令g（x）=x³+3x²，x∈（-3，0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=e^x（x³-a）+e^x（3x²）=e^x（x³+3x²-a），
若函數(shù)f（x）在（-3，0）單調(diào)遞減，
則x³+3x²-a≤0在（-3，0）恒成立，
即a≥x³+3x²在（-3，0）恒成立，
令g（x）=x³+3x²，x∈（-3，0），
則g′（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令g′（x）＞0，解得：x＞0（舍）或x＜-2，
令g′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
故g（x）在（-3，-2）遞增，在（-2，0）遞減
故g（x）的最大值是g（-2）=4，
故a≥4，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．