Question

10．已知（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為32．
（1）求（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展開式中含有x的項的系數(shù)．
（2）求（x+$\frac{1}{x}}$）•（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ展開式中的常數(shù)項．

Answer 1

分析 （1）（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為32．可得2ⁿ=32，解得n=5．令x=1，即可得出$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$展開式中各項系數(shù)和．
（2）由（1）知，（x+$\frac{1}{x}}$）•（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ=$（x+\frac{1}{x}）$$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$，要求展開式的常數(shù)項，只需求$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$展開式中含x與$\frac{1}{x}$的項．利用通項公式即可得出．

解答 解：（1）（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)之和為32．∴2ⁿ=32，解得n=5．
令x=1，則$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$展開式中各項系數(shù)和為2⁵=32．
（2）由（1）知，（x+$\frac{1}{x}}$）•（3x-$\frac{1}{x}}$）ⁿ=$（x+\frac{1}{x}）$$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$，
要求展開式的常數(shù)項，只需求$（3x-\frac{1}{x}）^{5}$展開式中含x與$\frac{1}{x}$的項．
由通項公式得：T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（3x）^5-r$（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r3^5-r${∁}_{5}^{r}$x^5-2r，
令5-2r=±1，得r=2或r=3．
所以該展開式中的常數(shù)項為：${∁}_{5}^{2}×{3}^{3}$-${∁}_{5}^{3}$×3²=180．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式及其性質、組合數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．