Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BA=CA=4

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，點(diǎn)E、F分別是PC和AP的中點(diǎn)
（1）求證：側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；
（2）求點(diǎn)B到側(cè)面PAC的距離；
（3）求二面角A-BE-F的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用已知條件利用線面垂直的判定和性質(zhì)，得出結(jié)論．
（2）轉(zhuǎn)化出點(diǎn)面之間的距離．
（3）先找到二面角的平面角，進(jìn)一步利用已知條件求出結(jié)果．

解答： 證明：（1）∵PB⊥平面ABC∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC∴側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC
（2）∵E為PC的中點(diǎn)，PB=BC∴BE⊥PC
又∵側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC從而B(niǎo)E⊥側(cè)PAC故BE的長(zhǎng)，
就是點(diǎn)B到側(cè)面PAC的距離
在等腰Rt△PBC中，
解得：BE=4
解：（3）先利用已知條件得知：
∠AEF就是二面角A-BE-F的平面角
利用已知條件中的線段長(zhǎng)，從而解得：
∠AEF=arccos

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從而得出二面角A-BE-F的平面角為arcsin

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)；面面垂直的判定定理，點(diǎn)面之間的距離的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．