Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時，的值域也是．則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：是函數(shù)=的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（R，）有“和諧區(qū)間” ，當(dāng)變化時，求出的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用和諧區(qū)間的定義推證；(2)借助題設(shè)運用和諧區(qū)間的定義推證；(3)運用和諧區(qū)間的定義將其轉(zhuǎn)化為二次方程有根的問題探求.

試題解析：

（1）因在區(qū)間上單調(diào)遞增． 又因為，所以值域為，

所以區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”．

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．因，或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增． 若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故是方程的同號的相異實數(shù)根．

因無實數(shù)根， 故函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．因，或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故是方程，即的同號的相異實數(shù)根．

∵，∴同號，只須,并解得不等式的解集為或，

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間” ， ∵，

∴當(dāng)時，取最大值