Question

7．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\sqrt{17}$，則圓（x-6）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)M到雙曲線C的漸近線的最短距離為（　�。�

• A． 23
• B． 24
• C． $\frac{{24\sqrt{17}}}{17}-1$
• D． $\frac{{24\sqrt{17}}}{17}$

Answer 1

分析 由雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\sqrt{17}$，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的一條漸近線到圓（x-6）²+y²=1上的點(diǎn)的最短距離．

解答 解：雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\sqrt{17}$，
可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$，可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=17$，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=16$，b=4a，則b²=16（c²-b²），解得$\frac{c}=\frac{4}{\sqrt{17}}$
雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0，
∵雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線到圓（x-6）²+y²=1上的點(diǎn)的最短距離為：
$\frac{|6b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}-1$=$\frac{6b}{c}$-1=$\frac{{24\sqrt{17}}}{17}-1$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．