Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）求方程$f（x）=\frac{1}{2}$的實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}$，得2^x=3，x=log₂3，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
所以f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；          …（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}$，∴2^x=3，x=log₂3．
所以方程的實(shí)數(shù)解為x=log₂3．…（8分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查方程思想，比較基礎(chǔ)．