Question

6．如圖，在四棱椎P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥面ABCD，BC=1，AB=2，PC=$PD=\sqrt{2}$，E為PA中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BED；
（2）求三棱錐E-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明PC∥平面BED．
（2）取CD中點(diǎn)O，連接PO，PO⊥CD，則PO⊥平面ABCD．連接AO，取AO中點(diǎn)K，則$EK∥\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}$，且EK⊥平面ABCD，由此能出三棱錐E-PBD的體積．

解答 證明：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連結(jié)EF．
∵ABCD為矩形，所以F為AC的中點(diǎn)．
在△PAC中，由已知E為PA中點(diǎn)，
∴EF∥PC．
又EF?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED．
解：（2）取CD中點(diǎn)O，連接PO，PO⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
連接AO，取AO中點(diǎn)K，則$EK∥\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}$，且EK⊥平面ABCD．
∴三棱錐E-PBD的體積：
${V_{E-PBD}}={V_{P-ABCD}}-{V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}×2×1×1-$$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．