Question

8．已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數列，則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$的取值范圍為[2，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 設$\frac{a}$=$\frac{c}$=q，q＞0，則b=aq，c=aq²，a+aq＞aq²，aq+aq²＞a，a+aq²＞aq，由此能夠求出$\frac{a}$的取值范圍，結合對勾函數的單調性，即可得到所求范圍，

解答 解：a，b，c成等比數列，
設$\frac{a}$=$\frac{c}$=q，q＞0，
則b=aq，c=aq²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-q-1＜0}\\{{q}^{2}+q-1＞0}\\{{q}^{2}-q+1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$=$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{q}$+q，
由f（q）=$\frac{1}{q}$+q在（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）遞減，在（1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）遞增，
可得f（1）取得最小值2，由f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=f（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
即有f（q）∈[2，$\sqrt{5}$）．
故答案為：[2，$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角形三邊關系和對勾函數的單調性的靈活運用．