Question

1．已知二次函數(shù)y=g（x）的導函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值-5．
（1）求二次函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）設f（x）=x•g（x），求函數(shù)y=f（x），x∈[-3，1]的最值．

Answer 1

分析 （1）設g（x）=ax²+bx+c，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系列方程組解出a，b，c；
（2）求出f（x）的解析式，利用導數(shù)判斷f（x）在[-3，1]上的單調(diào)性，求出f（x）的極值和端點函數(shù)值，得出最值．

解答 解：（1）設g（x）=ax²+bx+c，則g′（x）=2ax+b，
∵g′（x）的圖象與y=2x平行，
∴a=1，
∵y=g（x）在x=-1處取得極小值-5，
∴g′（-1）=-2+b=0，解得b=2．
g（-1）=1-2+c=-5，解得c=-4．
∴g（x）=x²+2x-4．
（2）f（x）=x（x²+2x-4）=x³+2x²-4x．
f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{2}{3}$或x=-2．
當-3≤x＜-2時，f′（x）＞0，當-2＜x＜$\frac{2}{3}$時，f′（x）＜0，當$\frac{2}{3}$＜x≤1時，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，在（-2，$\frac{2}{3}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{2}{3}$，1]上單調(diào)遞增．
∴當x=-2時，f（x）取得極大值f（-2）=8，當x=$\frac{2}{3}$時，f（x）取得極小值f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{40}{27}$．
又f（-3）=3，f（1）=-1．
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為8，最小值為-$\frac{40}{27}$．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)極值的關(guān)系，屬于中檔題．