Question

6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記錄割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在2-$\frac{1}{2-\frac{1}{2-…}}$中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式是個(gè)定制x，這可以通過(guò)方程2-$\frac{1}{x}$=x解得x=1，類比之，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． -1或2
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 通過(guò)已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），再運(yùn)用該方法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負(fù)的即可．

解答 解：由已知代數(shù)式的求值方法：
先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），
可得要求的式子．
令 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m（m＞0），
則兩邊平方得，則2+$\sqrt{2+\sqrt{2+…}}$=m²，
即2+m=m²，解得，m=2，m=-1舍去．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理的思想方法，考查從方法上類比，是一道基礎(chǔ)題．