Question

8．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}}$|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{1}{2}$x對任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=$\frac{1}{2}$時，討論當(dāng)x≥1時，當(dāng)0＜x＜1時，去掉絕對值，求得導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≥$\frac{1}{2}$x可得a（x²+1）-|x²-1|≥$\frac{1}{2}$x²，討論當(dāng)0＜x＜1時，當(dāng)x≥1時，運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性可得最值，進而得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2x}-\frac{x}{2}，x≥1}\\{\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥1時，f（x）=$\frac{3}{2x}$-$\frac{x}{2}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{3}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$＜0；
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[1，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≥$\frac{1}{2}$x得a（x+$\frac{1}{x}$）-|x-$\frac{1}{x}$|≥$\frac{1}{2}$x，x＞0，
可得a（x²+1）-|x²-1|≥$\frac{1}{2}$x²，
①當(dāng)0＜x＜1時，a（x²+1）+（x²-1）≥$\frac{1}{2}$x²，
即有a≥$\frac{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
由$\frac{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{3}{2（1+{x}^{2}）}$-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{1}{4}$，1）
可得a≥1；
②當(dāng)x≥1時，a（x²+1）-（x²-1）≥$\frac{1}{2}$x²，
可得a≥$\frac{\frac{3}{2}{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$
由$\frac{\frac{3}{2}{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{2（{x}^{2}+1）}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$）
可得a≥$\frac{3}{2}$．
綜上所述，a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，注意運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．