Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調，則ω的最大值為9．

Answer 1

分析 先跟據(jù)正弦函數(shù)的零點以及它的圖象的對稱性，判斷ω為奇數(shù)，由f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調，分f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調遞增、單調遞減兩種情況，分別求得ω的最大值，綜合可得它的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，
∴ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，
∴相減可得ω•$\frac{π}{2}$=（n′-n）π+$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數(shù)．
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調，
（1）若f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調遞增，
則ω•$\frac{π}{18}$+φ≥2kπ-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即-ω•$\frac{π}{18}$-φ≤-2kπ+$\frac{π}{2}$ ①，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z ②，
把①②可得$\frac{3}{36}$ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇數(shù)ω的最大值為11．
當ω=11時，-$\frac{11}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
此時f（x）=sin（11x-$\frac{π}{4}$）在（ $\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上不單調，不滿足題意．
當ω=9時，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，
此時f（x）=sin（9x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調遞減，不滿足題意；
故此時ω無解．
（2）若f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調遞減，
則ω•$\frac{π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即-ω•$\frac{π}{18}$-φ≤-2kπ-$\frac{π}{2}$ ③，且ω•$\frac{5π}{36}$+φ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z ④，
把③④可得$\frac{3}{36}$ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇數(shù)ω的最大值為11．
當ω=11時，-$\frac{11}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
此時f（x）=sin（11x-$\frac{π}{4}$）在（ $\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上不單調，不滿足題意．
當ω=9時，-$\frac{9π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，
此時f（x）=sin（9x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調遞減，滿足題意；
故ω的最大值為9．
故答案為：9．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的零點以及它的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調性的應用，屬于中檔題．