Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，E為CD的中點，則點D₁到平面AEC₁的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用${V}_{{D}_{1}-AE{C}_{1}}$=${V}_{A-E{C}_{1}{D}_{1}}$，即可求出點D₁到平面AEC₁的距離．

解答 解：設(shè)點D₁到平面AEC₁的距離為h．
如圖所示△AEC₁中，AE=EC₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，AC₁=3$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AE{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$，
∵${V}_{{D}_{1}-AE{C}_{1}}$=${V}_{A-E{C}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{6}}{4}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$，
∴h=$\sqrt{6}$，
∴點D₁到平面AEC₁的距離為$\sqrt{6}$，
故選：A．

點評 本題以正方體為載體，考查了立體幾何中點、線、面的距離的計算，屬于中檔題．運(yùn)用體積計算公式，進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換來求點到平面的距離，是解決本題的關(guān)鍵．