Question

14．如圖，AC為線段BD的垂直平分線，且AE=BE=$\frac{1}{2}$CE=1，現(xiàn)將△BCD沿線段BD翻折到PBD，使二面角P-BD-A為60°．
（1）證明：PA⊥平面ABD；
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為F，求點(diǎn)F到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：PA⊥AE，BD⊥PA，即可證明PA⊥平面ABD；
（2）過A做AO⊥PE，垂足為O，則AO⊥平面PBD，求出AO，利用AB的中點(diǎn)為F，即可求點(diǎn)F到平面PBD的距離．

解答 （1）證明：由題意，∠PEA=60°，AE=1，PE=2，
∴PA⊥AE，
∵PE⊥BD，AE⊥BD，PE∩AE=E，
∴BD⊥平面PAE，
∴BD⊥PA，
∵AE∩BD=E，
∴PA⊥平面ABD；
（2）解：過A做AO⊥PE，垂足為O，則AO⊥平面PBD．
∴AO=AEsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB的中點(diǎn)為F，
∴點(diǎn)F到平面PBD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．