Question

（本小題共14分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△是等腰直角三角形．          

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)（）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）直線過(guò)定點(diǎn)（）．

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）利用橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于系數(shù)a,b,c的關(guān)系式，然后求解得到橢圓的方程。

（2）對(duì)于直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，然后設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理和斜率的關(guān)系式得到直線恒過(guò)定點(diǎn)。

解：（Ⅰ）由已知可得 ，

          所求橢圓方程為．                              ………5分

（Ⅱ）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．

設(shè)，，

由  得 ．    

則．                        ………8分

由已知，所以，

即．                                ………10分

所以，整理得 ．

故直線的方程為，即（）．

所以直線過(guò)定點(diǎn)（）．                            ………12分

若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，

設(shè)，，   由已知，

得．此時(shí)方程為，顯然過(guò)點(diǎn)（）．

綜上，直線過(guò)定點(diǎn)（）．                    ………14分