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17.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1ab0,不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A、B,直線OA,AB,OB的斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求a,b,k的關(guān)系式;
(Ⅱ)若離心率e=12|AB|=7|m+1m|,當(dāng)m為何值時(shí),橢圓的焦距取得最小值?

分析 (Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,化簡整理,即可得到b=ak;
(Ⅱ)運(yùn)用離心率公式,可得斜率k,再由弦長公式,結(jié)合條件,運(yùn)用基本不等式即可得到所求最值,以及m的取值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由直線OA,AB,OB的斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列,
k2=kOAkOB=y1y2x1x2
{x2a2+y2b2=1y=kx+m,可得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,
故△=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)>0,
即b2-m2+a2k2>0,
又x1+x2=-2a2km2+a2k2,x1x2=a2m2a222+a2k2,
k2=y1y2x1x2=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2
kmx1+x2+m2=0,
2a2k2m2b2+a2k2+m2=0,
又直線不經(jīng)過原點(diǎn),所以m≠0,
所以b2=a2k2即b=ak;
(Ⅱ)若e=12,則a=2cb=3c,k2=34,
又k>0,得k=32,
則x1+x2=-2a2km2+a2k2=-233m,x1x2=a2m2a222+a2k2=23m2-2c2,
|AB|=1+k2x1+x224x1x2=7223m32423m22c22
=724m23+8c2=7|m+1m|
化簡得2c2=4m23+1m2+2433+2(△>0恒成立),
當(dāng)m=±\frac{{\root{4}{12}}}{2}時(shí),焦距最�。�

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的運(yùn)用,注意聯(lián)立直線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查直線的斜率公式的運(yùn)用和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),以及弦長公式和基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.

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