Question

8．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，則AD₁與平面BB₁D₁所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD₁與面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
設(shè)AB=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）．
設(shè)AD₁與面BB₁D₁D所成角的大小為θ，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
設(shè)平面BB₁D₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
則x+y=0，z=0．
令x=1，則y=-1，所以$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以AD₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面所成角的求解，建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決空間角的常用方法．