Question

11．若直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由已知直線ax+2by-2=0（a，b＞0）經(jīng)過(guò)圓心（2，1），從而a+b=1，由此利用基本不等式性質(zhì)能求出$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：∵直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，
∴直線ax+2by-2=0（a，b＞0）經(jīng)過(guò)圓心（2，1），
∴2a+2b-2=0，即a+b=1，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{2}+\frac{2a}$+$\frac{a}$+1
=$\frac{2a}+\frac{a}+\frac{3}{2}$
≥$\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}$
=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．