Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）先把半圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再化為參數(shù)方程；
（2）已知直線l：y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+6，點(diǎn)P在半圓C上，且點(diǎn)P到直線l的距離為半圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值，根據(jù)（1）中得到的參數(shù)方程，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．進(jìn)而得到半圓C的參數(shù)方程．
（2）作直線l的平行線l'，當(dāng)直線l'與半圓C相切時(shí)，切點(diǎn)即為P，由（1）知半圓C的圓心為C（0，2），則CP⊥l，可得k_CP=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，可得半圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4，0≤x≤2．
∴半圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=2+2sinϕ}\end{array}}\right.（ϕ為參數(shù)，-\frac{π}{2}≤ϕ≤\frac{π}{2}）$．
（2）作直線l的平行線l'，當(dāng)直線l'與半圓C相切時(shí)，切點(diǎn)即為P，
由（1）知半圓C的圓心為C（0，2），則CP⊥l，
因此${k_{CP}}=\frac{2+2sinϕ-2}{2cosϕ-0}=tanϕ=\sqrt{3}$，
解得$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴點(diǎn)$P（1，2+\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、三角函數(shù)基本關(guān)系式、直線與圓相切的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．