Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-alnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞e-a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞e-a，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，f（1）=e-1，f′（1）=0，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=e-1；
（2）f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
a≤1，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f（x）＞e-a，∴f（x）＞f（1）=e-a，成立；
a＞1時(shí)，函數(shù)在（1，a）上單調(diào)遞減，（a，+∞）上單調(diào)遞增，x=a時(shí)，函數(shù)取得最小值，
∵f（x）＞e-a，∴$\frac{{e}^{a}}{a}-alna-1＞e-a$，不成立，
綜上所述，a≤1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．