Question

3．已知x∈R，用反證法證明：$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 假設$\sqrt{3}+\sqrt{5}$≤$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，兩邊平方化簡即可得出$\sqrt{15}$$≤\sqrt{12}$，于是15≤12，得出矛盾，于是假設錯誤，原結論成立．

解答 證明：假設$\sqrt{3}+\sqrt{5}$≤$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
則（$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）²≤（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²，
∴8+2$\sqrt{15}$≤8+2$\sqrt{12}$，
∴$\sqrt{15}$≤$\sqrt{12}$，
兩邊平方得15≤12，與15＞12矛盾，
∴假設不成立，
∴$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了反證法證明不等式，屬于基礎題．