Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2．
（1）試寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若過點E（3，0）與直線l平行的直線1′與曲線C交于A、B兩點，試求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），平方相減可得：x²-y²=4．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2，展開化為：$\frac{1}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=2，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$x-y+4=0．
（2）設(shè)與直線l平行的直線1′的方程為：$\sqrt{3}$x-y+m=0，把點E（3，0）代入解得m．可得直線1′的方程，與x²-y²=4聯(lián)立化為：2x²-18x+23=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
則x²-y²=$（t+\frac{1}{t}）^{2}$-$（t-\frac{1}{t}）^{2}$$\frac{2}{t}×2t$=4．可得直角坐標(biāo)方程：x²-y²=4．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2，
展開化為：$\frac{1}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=2，可得直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$x-y+4=0．
（2）設(shè)與直線l平行的直線1′的方程為：$\sqrt{3}$x-y+m=0，把點E（3，0）代入可得：$3\sqrt{3}$+m=0，解得m=-3$\sqrt{3}$．
∴直線1′的方程為：$\sqrt{3}$x-y-3$\sqrt{3}$=0，與x²-y²=4聯(lián)立化為：2x²-18x+23=0．
∴x₁+x₂=9，x₁x₂=$\frac{23}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{{9}^{2}-4×\frac{23}{2}}$=2$\sqrt{35}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與雙曲線相交弦長、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．