Question

【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，且.

（1）求該拋物線(xiàn)的方程；

（2）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條弦和，且，判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求,再根據(jù)解得.（2）先設(shè)直線(xiàn)方程, 與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，得或,代入方程可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)

試題解析：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) ，∴直線(xiàn)的方程為: .

聯(lián)立方程組，消元得: ，

∴.

∴

解得.

∴拋物線(xiàn)的方程為： .

（2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線(xiàn)的斜率不為0，

設(shè)直線(xiàn)的方程為： ，

聯(lián)立，得，

則①.

設(shè)，則.

∵

即，得： ，

∴，即或，

代人①式檢驗(yàn)均滿(mǎn)足，

∴直線(xiàn)的方程為： 或.

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿(mǎn)足題意，故舍去）.