Question

1．已知拋物線(xiàn)C₁：y²=-4x的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C₂：y²=2px的焦點(diǎn)
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C₂的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M，N分別在拋物線(xiàn)C₁，C₂上，且點(diǎn)M，N分別位于第三、第一象限．若拋物線(xiàn)C₂上存在一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)，將焦點(diǎn)坐標(biāo)帶誒準(zhǔn)線(xiàn)方程得出p，即可得出拋物線(xiàn)的方程；
（II）設(shè)M（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），根據(jù)$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$求出Q的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)C₂的方程得出λ關(guān)于y₁，y₂的函數(shù)，利用基本不等式求出λ的范圍．

解答 解：（I）拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=1，
拋物線(xiàn)C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．
∴拋物線(xiàn)C₂的方程為：y²=4x．
（II）設(shè)M（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），N（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），（y₁＜0，y₂＞0）．
∵$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$，∴$λ\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂-y₁），
∴Q（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4λ}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{λ}$）．
∵Q在拋物線(xiàn)C₂：y²=4x上，
∴$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}{{λ}^{2}}=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{λ}$，∴λ=$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=1-$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$．
∵y₁²+y₂²≥-2y₁y₂＞0，
∴0＜-$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$≤1．
∴1＜λ≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，向量的線(xiàn)性運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．