Question

8．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}-1，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，則${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx的值為$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的積分公式和性質(zhì)，及定積分的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答 解：由定積分的性質(zhì)${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{（x}^{2}-1）dx$，
根據(jù)定積分的幾何意義，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$表示是以原點為圓心，以1為半徑圓面積的一半，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，
${∫}_{1}^{2}{（x}^{2}-1）dx$=（$\frac{1}{3}$x³-x）${丨}_{1}^{2}$=$\frac{4}{3}$，
${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

點評 本題求一個分段函數(shù)的定積分之值，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．