Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，直線l的傾斜角為45°且經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0）．
（1）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）求得直線l的參數(shù)方程，代入圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式，即可求得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）將x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ）------（5分）
（2）因?yàn)橹本�l的傾斜角為45°且經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0）所以l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
化簡得t²-3$\sqrt{2}$t+3=0
所以t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=3  故$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值$\sqrt{2}$．------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，及直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．