Question

5．若存在實(shí)數(shù)a，b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[0，4]，使不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m恒成立，則m的取值范圍為（　　）

• A． m≥1
• B． m≤1
• C． m≤$\frac{1}{4}$
• D． m≥$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m可化為不等式|ax+b-$\sqrt{x}$|≤m，等價(jià)于任意實(shí)數(shù)a，b，垂直x∈[0，4]，使不等式|-ax-b+$\sqrt{x}$|＞m，分情況討論a，即可解決．

解答 解：不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m可化為不等式|ax+b-$\sqrt{x}$|≤m，
等價(jià)于任意實(shí)數(shù)a，b，存在x∈[0，4]，使不等式|-ax-b+$\sqrt{x}$|＞m，
令y=-ax-b+$\sqrt{x}$，則y′=-a+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
在x∈[0，4]上，當(dāng)y′≥0，即a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)-b≤y≤-4a-b+2，
當(dāng)b≤1-2a時(shí)，|y|_max=-4a-b+2，當(dāng)b＞1-2a時(shí)，|y|_max=b，
從而當(dāng)a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，b=1-2a時(shí)|y|取最大值，|y|_max=1-2a≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，y在[0，$\frac{1}{4{a}^{2}}$）上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{4{a}^{2}}$，4]上單調(diào)遞減，
在a∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，-b≤y≤-b+$\frac{1}{4a}$，當(dāng)b=$\frac{1}{8a}$時(shí)，（|y|_max）_min=$\frac{1}{8a}$≥$\frac{1}{4}$，
在a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，-4a-b-2≤y≤-b+$\frac{1}{4a}$，當(dāng)b=1-2a+$\frac{1}{8a}$時(shí)，（|y|_max）_min=2a+$\frac{1}{8a}$-1＞$\frac{1}{4}$，
綜上所述，（|y|_max）_min=$\frac{1}{4}$，
∴m≤$\frac{1}{4}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，和存在性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于壓軸題，難題．