Question

5．如圖，某兒童公園設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形游樂滑梯，AO為滑道，∠OBA為直角，OB=20米，設(shè)∠AOB=θrad，一個(gè)小朋友從點(diǎn)A沿滑道往下滑，記小朋友下滑的時(shí)間為t秒，已知小朋友下滑的長(zhǎng)度s與t²和sinθ的積成正比，當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，小朋友下滑2秒時(shí)的長(zhǎng)度恰好為10米．
（1）求s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)確定θ的值，使小朋友從點(diǎn)A滑到O所需的時(shí)間最短．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)出設(shè)S=kt²sinθ的表達(dá)式，當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，S=10，求解k，可得s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）把OA用θ表示出來，建立關(guān)系，化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的有界限求解即可．

解答 解：（1）由題意，設(shè)S=kt²sinθ，t＞0，
當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，S=10，
∴$10=k×{2^2}sin\frac{π}{6}$，
解得：k=5，
∴故得S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的表達(dá)式；S=5t²sinθ，t＞0；
（2）由題意，∠OBA為直角，∠AOB=θrad，
可得：$OA=\frac{20}{cosθ}$，
∴$\frac{20}{cosθ}=5{t^2}sinθ$，
化簡(jiǎn)可得：$t=\sqrt{\frac{4}{sinθcosθ}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{sin2θ}}}$，
∴當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時(shí)，時(shí)間t最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題