Question

5．已知a＞0，函數(shù)y=x³-ax在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 法一：先利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再讓[1，+∞）是所求區(qū)間的子集可得結(jié)論．
法二：由題意a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：法一∵f（x）=x³-ax，
∴f′（x）=3x²-a=3（x-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{a}}{3}$）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{a}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上單調(diào)，
∴$\frac{\sqrt{a}}{3}$≤1⇒a≤3
∴a的最大值為 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，顯然是遞增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故選：D．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．