Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₄=16，a₄+a₁₄=34．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=

an

an+t

（n∈N₊，t≠0），若c₁，c₂，c_k（k≥3，k∈N₊）成等差數(shù)列，求t和k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S₄=16，a₄+a₁₄=34，聯(lián)立方程組求得首項(xiàng)和公差，即得結(jié)論；
（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；
（3）由c₁，c₂，c_k（k≥3，k∈N₊）成等差數(shù)列，得

1

t+1

+

2k-1

2k-1+t

=

6

t+3

，
化簡(jiǎn)得k=3+

4

t-1

，再由k≥3，k∈N₊，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

2a1+3d=8 2a1+16d=34

，
∴d=2，a₁=1．則a_n=2n-1．  …..（2分）
（2）

Tn= 1 2 + 3 22 +…+ 2n-1 2n 1 2 Tn= 1 22 + 3 23 +…+ 2n-3 2n + 2n-1 2n+1

，
所以

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

所以Tn=2-

2n+3

2n

…..（6分）
（3）cn=

2n-1

2n-1+t

，c₁，c₂，c_m成等差數(shù)列，
∴

1

t+1

+

2k-1

2k-1+t

=

6

t+3

，
化簡(jiǎn)得k=3+

4

t-1

（8分）
由已知解得

t=2 k=7

，

t=3 k=5

，

t=5 k=4

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和等知識(shí)，考查學(xué)生方程思想在解題中的應(yīng)用及其運(yùn)算求解能力，屬中檔題．