Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-b}$（a，b，c為常數(shù)，且a＞0，c＞0）．
（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，求證：|f（x）|≥2c；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，如果對(duì)任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求證：a+2c＞1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）a=1，b=0時(shí)，
f（x）=x+$\frac{{c}^{2}}{x}$，x＞0時(shí)，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{{c}^{2}}{x}}$=2c，
x＜0時(shí)，f（x）≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{{c}^{2}}{（-x）}}$=-2c，
綜上：|f（x）|≥2c；
（2）a＞0，b＞0，b=1，x＞1時(shí)，x-1＞0，
∴f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$
=a²（x-1）+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$+a²
≥2ac+a²
=a（2c+a）＞a，
∴a+2c＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意滿足性質(zhì)的條件，本題是一道中檔題．