Question

16．函數(shù)y=2sinωx+2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為2π，若x∈（0，$\frac{π}{2}$），則函數(shù)取得最大值時(shí)的x=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 化函數(shù)y為正弦型函數(shù)，根據(jù)y的最小正周期求出ω的值，
寫出y的解析式，求出x∈（0，$\frac{π}{2}$）函數(shù)y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：函數(shù)y=2sinωx+2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
=2sinωx+2sinωxcos$\frac{π}{3}$+2cosωxsin$\frac{π}{3}$
=3sinωx+$\sqrt{3}$cosωx
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）
=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$），（ω＞0）；
∴y的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
解得ω=1，∴y=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．