Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）．
（1）若f（x）圖象上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處存在垂直于y軸的切線，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象于函數(shù)f（x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，試求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由f′（1）=0求解a．
（2）將“f（x）在區(qū)間（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程f′（x）=0在區(qū)間（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根”，用△＞0求解．
（3）a=1，“要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根”．因?yàn)閤=0是一個(gè)根，所以方程x²-4x+1-m=0應(yīng)有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，再用判別式求解．

解答 解：（1）依題意，f′（1）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（1）²+2•a•1=0，
∴a=$\frac{3}{2}$；
（2）若f（x）在區(qū)間（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
則方程f′（x）=-3x²+2ax=0在區(qū)間（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴△＞0，f′（-1）＜0，f′（2）＜0，-1＜$\frac{a}{3}$＜2，
解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜3且a≠0
但a=0時(shí)，f（x）=-x³+1無(wú)極值點(diǎn)，
∴a的取值范圍為（-$\frac{3}{2}$，0）∪（0，3）；
（3）a=1時(shí)，f（x）=-x³+x²+1，
要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
等價(jià)于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根．
∵x=0是一個(gè)根，
∴應(yīng)使方程x²-4x+1-m=0有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1，
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化．還考查了計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．