Question

19．若函數(shù)f（x）=|lnx|+ax有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)零點(diǎn)的定義列出方程并移項(xiàng)，作出函數(shù)f（x）和直線y=-ax的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的切線方程以及斜率，利用圖象即可求出答案．

解答 解：由f（x）=|lnx|+ax=0得，|lnx|=-ax，
作出函數(shù)f（x）和y=-ax的圖象如圖：
由圖得，當(dāng)直線y=-ax與y=lnx在x＞1時(shí)相切時(shí)，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切線方程為y=-ax，
∴-a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，解得x₀=e，則a=$-\frac{1}{e}$，
∴要使函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則a=$-\frac{1}{e}$，
故答案為：$-\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，正確轉(zhuǎn)化和畫出圖象是解決本題的關(guān)鍵．