Question

7．若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有極值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；         
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，以及函數(shù)的極值，求出a，b，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-b，由題知：f′（2）=0且f（2）=-$\frac{4}{3}$，
則代入有：f′（2）=12a-b=0且f（2）=8a-2b+4=-$\frac{4}{3}$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=4，
則函數(shù)解析式為：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4．
（2）由（1）知：f′（x）=x²-4，令f′（x）=0解得x=2或x=-2，
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問題以及極值問題，考查計(jì)算能力．