Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）l利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，再利用遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₃，a₂+14成等差數(shù)列，∴2a₃=a₁+a₂+14，a₁=1，
∴2q²=1+q+14，q＞1，解得q=3，
∴a_n=3^n-1．
∵數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
∴n=1時，a₁b₁=1，∴b₁=1．
n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•3^n-1+1，
∴a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$．
∴數(shù)列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n項和T_n=1+$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$．
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=1+2$（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=1+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴${T_n}=3-\frac{n+1}{{{3^{n-1}}}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．