Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin（$\frac{π}{2}$-x），$-\sqrt{3}cosx）$，$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最大值和對稱軸方程；
（2）討論f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的解析式，兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求解對稱軸方程以及函數(shù)的最值．
（2）利用（1）直接求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以最大值為$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，所以對稱軸 x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z..…（6分）
（2）當x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時，$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，從而當$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，$即\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$時，
f（x）單調(diào)遞增
當$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π，即\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}時$，f（x）單調(diào)遞減
綜上可知f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)減..…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的化簡求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．