分析 (Ⅰ)取線段AC的中點(diǎn)F,連接OF、DF,由三角形中位線定理可得OF∥BC,且OF=12BC,在直角梯形BCDE中,有DE∥BC,DE=12BC,可得OF∥DE且OF=DE,則四邊形OEDF為平行四邊形,再由線面平行的判定可得EO∥平面ACD;
(Ⅱ)依題意,平面BCDE⊥平面ABC,由面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面ABC,從而得到DC⊥AC,又AC⊥BC,可得AC⊥平面BCDE,則平面ACD⊥平面BCDE;
(Ⅲ)以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面ABE的一個法向量→n=(4,3,2),又→CA=(3,0,0)為平面BDE的一個法向量,求出兩法向量所成角的余弦值,得到二面角A-BE-D的余弦值為.
解答 (Ⅰ)證明:取線段AC的中點(diǎn)F,連接OF、DF,
∵O為線段AB的中點(diǎn),∴OF∥BC,且OF=12BC,
在直角梯形BCDE中,DE∥BC,DE=12BC,
∴OF∥DE且OF=DE,則四邊形OEDF為平行四邊形,
∴OE∥DF,又OE?平面ACD,DF?平面ACD,
∴EO∥平面ACD;
(Ⅱ)證明:依題意,平面BCDE⊥平面ABC,
平面BCDE∩平面ABC=BC,且DC⊥BC,
∴DC⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴DC⊥AC,又AC⊥BC,DC∩BC=C,
∴AC⊥平面BCDE,又AC?平面ACD,
∴平面ACD⊥平面BCDE;
(Ⅲ)解:以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則有:C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),D(0,0,3),E(0,2,3).
→AE=(−3,2,3),→AB=(−3,4,0).
設(shè)平面ABE的一個法向量→n=(x,y,z),
則由{→n•→AE=−3x+2y+3z=0→n•→AB=−3x+4y=0,取x=4,得→n=(4,3,2);
→CA=(3,0,0)為平面BDE的一個法向量,
∴cos<→n,→CA>=→n•→CA|→n||→CA|=12√29×3=4√2929.
∴二面角A-BE-D的余弦值為4√2929.
點(diǎn)評 本題考查線面平行與面面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.
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A. | (0,2] | B. | (0,\frac{1}{2}] | C. | [\frac{1}{2},1] | D. | [\frac{1}{2},\frac{5}{4}] |
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A. | \frac{π}{2} | B. | \frac{π}{4} | C. | \frac{2π}{3} | D. | \frac{π}{3} |
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A. | (0,2] | B. | (-1,2] | C. | [-1,2] | D. | [2,+∞) |
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A. | (1,2) | B. | [1,2) | C. | (-1,2) | D. | [-1,2) |
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