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19.如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的圓上一點(diǎn),直角梯形BCDE所在平面與圓O所在平面垂直,且DE∥BC,DC⊥BC,DE=12BC=2,AC=CD=3.
(Ⅰ)證明:EO∥平面ACD;
(Ⅱ)證明:平面ACD⊥平面BCDE;
(Ⅲ)求二面角A-BE-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)取線段AC的中點(diǎn)F,連接OF、DF,由三角形中位線定理可得OF∥BC,且OF=12BC,在直角梯形BCDE中,有DE∥BC,DE=12BC,可得OF∥DE且OF=DE,則四邊形OEDF為平行四邊形,再由線面平行的判定可得EO∥平面ACD;
(Ⅱ)依題意,平面BCDE⊥平面ABC,由面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面ABC,從而得到DC⊥AC,又AC⊥BC,可得AC⊥平面BCDE,則平面ACD⊥平面BCDE;
(Ⅲ)以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面ABE的一個法向量n=432,又CA=300為平面BDE的一個法向量,求出兩法向量所成角的余弦值,得到二面角A-BE-D的余弦值為.

解答 (Ⅰ)證明:取線段AC的中點(diǎn)F,連接OF、DF,
∵O為線段AB的中點(diǎn),∴OF∥BC,且OF=12BC,
在直角梯形BCDE中,DE∥BC,DE=12BC,
∴OF∥DE且OF=DE,則四邊形OEDF為平行四邊形,
∴OE∥DF,又OE?平面ACD,DF?平面ACD,
∴EO∥平面ACD;
(Ⅱ)證明:依題意,平面BCDE⊥平面ABC,
平面BCDE∩平面ABC=BC,且DC⊥BC,
∴DC⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴DC⊥AC,又AC⊥BC,DC∩BC=C,
∴AC⊥平面BCDE,又AC?平面ACD,
∴平面ACD⊥平面BCDE;
(Ⅲ)解:以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則有:C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),D(0,0,3),E(0,2,3).
AE=323AB=340
設(shè)平面ABE的一個法向量n=xyz,
則由{nAE=3x+2y+3z=0nAB=3x+4y=0,取x=4,得n=432
CA=300為平面BDE的一個法向量,
∴cos<nCA>=nCA|n||CA|=1229×3=42929
∴二面角A-BE-D的余弦值為42929

點(diǎn)評 本題考查線面平行與面面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角,是中檔題.

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