Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+2φ）-2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 利用積化和差公式化簡2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）-sinωx．可將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)遞減，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立關(guān)系可求ω的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+2φ）-2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．
化簡可得：f（x）=sin（ωx+2φ）-sin（ωx+2φ）+sinωx
=sinωx，
由$\frac{π}{2}$+$2kπ≤ωx≤2kπ+\frac{3π}{2}$，（k∈Z）上單調(diào)遞減，
得：$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}≤x≤\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{ω}$$+\frac{π}{2ω}$，$\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}$]，（k∈Z）．
∵在（π，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)遞減，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2kπ}{ω}+\frac{π}{2ω}≤π}\\{\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}≥\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{2k+\frac{1}{2}≤ω}\\{\frac{4k}{3}+1≥ω}\end{array}\right.$，（k∈Z）．
∵ω＞0，
當(dāng)k=0時，
可得：$\frac{1}{2}≤$ω≤1．
考查選項，故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．