Question

14．已知函數f（x）=${（\frac{1}{2}）^{|x|}}-\frac{1}{{1+{{log}_{\frac{1}{2}}}（1+|x|）}}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{3}，1）$
• B． $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
• C． $（-\frac{1}{3}，1）$
• D． $（-∞，-1）∪（-1，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$

Answer 1

分析 根據函數的表達式求出f（x）的單調性和奇偶性，通過討論x的符號，從而求出x的范圍即可．

解答 解：∵函數f（x）=${（\frac{1}{2}）^{|x|}}-\frac{1}{{1+{{log}_{\frac{1}{2}}}（1+|x|）}}$，
∴x＞0時，f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$-$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$，
${（\frac{1}{2}）}^{x}$和$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$隨著x的增大而減小，
故x＞0時，f（x）是減函數，而f（x）在R是偶函數，
故x＜0時，f（x）是增函數，
若f（x）＞f（2x-1）成立，
則|x|＜|2x-1|，
解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
又1+${log}_{\frac{1}{2}}^{（1+|x|）}$≠0，解得x≠-1，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性和奇偶性問題，考查分類討論以及轉化思想，是一道中檔題．