Question

7．已知△ABC的三邊a，b，c滿足：a³+b³=c³，則此三角形是（　　）

• A． 鈍角三角形
• B． 銳角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 依題意可知∠C為△ABC中的最大角，且（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{c}$）³=1；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可證得（$\frac{a}{c}$）²＞（ $\frac{a}{c}$）³，（$\frac{c}$）²＞（$\frac{c}$）³，利用不等式的性質(zhì)與余弦定理即可判斷出答案．

解答 解：∵a³+b³=c³，
∴∠C為△ABC中的最大角，且（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{c}$）³=1；
∴0＜a＜c，0＜b＜c，
∴0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
∴（$\frac{a}{c}$）²＞（$\frac{a}{c}$）³，（$\frac{c}$）²＞（$\frac{c}$）³，
∴（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²＞（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{c}$）³=1，
∴c²＜a²+b²，由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
∴∠C為銳角．
∴△ABC為銳角三角形．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判定，推出平方關(guān)系式與立方關(guān)系式，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新思維能力，屬于難題．