Question

7．如圖，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，P為∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與∠BAC的兩邊交于點(diǎn)B，C，且PA⊥AC，AP=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若AB=3，求PC；
（Ⅱ）求$\frac{1}{PB}$$+\frac{1}{PC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)余弦定理求出PB的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出答案，
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理得PB=$\frac{AP}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cosθ}$，繼而得到于是$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=sinθ，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理知PB²=AP²+AB²-2AP•ABcos$\frac{π}{6}$=3，得PB=$\sqrt{3}$=AP，
則∠BPA=$\frac{2π}{3}$，∠APC=$\frac{π}{3}$，
在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）因?yàn)椤螦PC=θ，則∠ABP=θ-$\frac{π}{6}$，
在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cosθ}$，
在△PAB中，由正弦定理知$\frac{AP}{sin（θ-\frac{π}{6}）}$=$\frac{PB}{sin\frac{π}{6}}$，得PB=$\frac{AP}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
于是$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{2sin（θ-\frac{π}{6}）}{AP}$+$\frac{cosθ}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{AP}$=sinθ，
由題意知$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜sinθ＜1，
即$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．