Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}m{x^3}+\frac{1}{2}n{x^2}+x+2017$，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，從這些函數(shù)中任取不同的兩個函數(shù)，在它們在（1，f（1））處的切線相互平行的概率是（　　）

• A． $\frac{7}{120}$
• B． $\frac{7}{60}$
• C． $\frac{7}{30}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意列舉斜率相等的情況，得到共有多少組，求得總的基本事件，由古典概率的計算公式即可得到所求值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}m{x^3}+\frac{1}{2}n{x^2}+x+2017$，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=mx²+nx+1，
可得在（1，f（1））處的切線斜率為m+n+1．
則切線相互平行即有斜率相等，
即有（m，n）為（2，7），（8，1），（4，5），（6，3），（2，5），（4，3），（6，1），
（2，3），（4，1），（4，7），（6，5），（8，3），（8，5），（6，7）
共${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+1+${C}_{3}^{2}$+1=6+3+1+3+1=14組，
總共有${C}_{16}^{2}$=120組，
則它們在（1，f（1））處的切線相互平行的概率是$\frac{14}{120}$=$\frac{7}{60}$．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及古典概率的求法，注意運用列舉法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．