Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）的圖象的對稱軸方程和對稱中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值時x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（1）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$
則x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，
∴對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
則x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，
所以對稱中心為（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$），k∈Z．
（3）令sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，即2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，
得：x=$-\frac{π}{3}$+kπ時，f（x）的取得最小值$\frac{3}{4}$．
此時x的取值集合是{x|x=$-\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡計算能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用．屬于基礎題．