Question

7．如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{2}$，過BC的中點D作平面ACB₁的垂線，交平面ACC₁A₁于E，則點E到平面BB₁C₁C的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 連接A₁B，A₁C，可證A₁B⊥平面AB₁C，故而DE∥A₁B，于是E為A₁C的中點，所以點E到平面BB₁C₁C的距離為A到平面BB₁C₁C的距離的$\frac{1}{2}$，即Rt△ABC的斜邊BC邊上的高的一半．

解答 解：連接A₁B，A₁C，
∵AC⊥AA₁，BC⊥AA₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又AB₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥AB₁，
又AB=AA₁，AB⊥AA₁，∴四邊形ABB₁A₁是正方形，
∴A₁B⊥AB₁，又AB₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C，AB₁∩AC=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C，又DE⊥平面AB₁C，
∴DE∥A₁B，∵D為BC的中點，
∴E為A₁C的中點．
∴E到平面BB₁C₁C的距離等于A到平面BB₁C₁C的距離的$\frac{1}{2}$．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴A到平面BB₁C₁C的距離為Rt△ABC的斜邊BC邊上的高．
∵AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∴BC=$\sqrt{6}$，
∴Rt△ABC的斜邊BC邊上的高為$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴E到平面BB₁C₁C的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間距離的計算，屬于中檔題．