Question

【題目】已知圓，直線， .

（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓

【解析】試題分析：（1）利用圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關系，即可判定直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）設中點為，當直線的斜率存在時，利用∵，化簡得；當直線的斜率不存在時， ，此時中點為，即可得到中點的軌跡方程；

試題解析：

證明：（1）圓的圓心為，半徑為，

所以圓心到直線的距離.

所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）設中點為，

因為直線恒過定點，

當直線的斜率存在時， ，又，

∵，∴

化簡得.

當直線的斜率不存在時， ，

此時中點為，也滿足上述方程.

所以的軌跡方程是，

它是一個以為圓心，以為半徑的圓.