Question

12．如圖所示，某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖（如圖1）和頻率分布直方圖（如圖2）都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，據(jù)此解答如下問題．（注：直方圖中[50，60）與[90，100]對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形的高度一樣）

（1）若按題中的分組情況進(jìn)行分層抽樣，共抽取16人，那么成績(jī)?cè)赱80，90）之間應(yīng)抽取多少人？
（2）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的試卷中任取2份分析學(xué)生失分情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在[90，100]之間 份數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖求出總?cè)藬?shù)，得到分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)，然后求解成績(jī)?cè)赱80，90）之間應(yīng)抽人數(shù)．
（2）分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)為6，分?jǐn)?shù)在[90，100]的人數(shù)為4，得到ξ的可能取值為：0，1，2，求出概率，得到分布列，求解期望即可．

解答 解：（1）由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在[50，60）的人數(shù)為4，[60，70）的人數(shù)為8，[70，80）的人數(shù)為10，
由頻率分布直方圖知：[50，60）與[90，100]的人數(shù)都為4，
故總?cè)藬?shù)為$\frac{4}{0.0125×10}=32$，∴分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)為：32-4-8-10-4=6，
∴成績(jī)?cè)赱80，90）之間應(yīng)抽：$\frac{6}{32}×16=3$人．
（2）∵分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)為6，分?jǐn)?shù)在[90，100]的人數(shù)為4，
∴ξ的可能取值為：0，1，2，
∵$P（ξ=0）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{3}，P（ξ=1）=\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}，P（ξ=2）=\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{15}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

∴$E（ξ）=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖以及頻率分布直方圖的應(yīng)用，離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．