Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|
（1）求該函數(shù)值域；
（2）設(shè)$g（x）=\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}（a＞0）$，若?s∈（0，+∞），?t∈R，恒有g(shù)（s）≥f（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，得出分段函數(shù)，即可求該函數(shù)值域；
（2）?s∈（0，+∞），t∈R恒有g(shù)（s）≥f（t）?g（s）_min≥f（t）_max，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3，x＜-2\\ 2x+1，-2≤x≤1\\ 3，x＞1\end{array}\right.$，∴f（x）∈[-3，3]…（5分）
（2）$g（x）=\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}=ax+\frac{3}{x}-3$，s∈（0，+∞），$g（s）=as+\frac{3}{s}-3≥2\sqrt{3a}-3$，當(dāng)且僅當(dāng)as²=3時，等號成立，
?s∈（0，+∞），t∈R恒有g(shù)（s）≥f（t）?g（s）_min≥f（t）_max
則$2\sqrt{3a}-3≥3$，∴a≥3…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值函數(shù)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．