Question

17．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊形翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱，則水箱的最大容積為128000cm³．

Answer 1

分析 設(shè)水箱底長為xcm，則高為$\frac{120-x}{2}$cm，求出容器的容積，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)水箱底長為xcm，則高為$\frac{120-x}{2}$cm（0＜x＜120）．
設(shè)容器的容積為ycm³，則有y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$． 
求導(dǎo)數(shù)，有y′=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+120x．   
令y′=0，解得x=80（x=0舍去）．
當x∈（0，80）時，y'＞0；當x∈（80，120）時，y'＜0，
因此，x=80是函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$的極大值點，也是最大值點，此時y=128000cm³．
故答案為：128000cm³．

點評 本題考查了立方體容積計算方法，解答關(guān)鍵是求出水箱的底邊長和高，注意挖掘題目中的隱含條件，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題．