Question

16．已知定義在R上的函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），滿足g′（x）-g（x）＜0，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且g（4）=1，則不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集為（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，由已知可得f（x）為定義域內(nèi)的減函數(shù)，再由已知求得f（0），然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集．

解答 解：令f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，則f′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$，
∵g′（x）-g（x）＜0，∴f′（x）＜0，
得函數(shù)f（x）為定義域內(nèi)的減函數(shù)，
又函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且g（4）=1，
∴g（2+x）=g（2-x），則g（4）=g（0）=1，
而當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=$\frac{g（0）}{{e}^{0}}$=1．
不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1，即f（x）＞f（0），
解得：x＜0，
∴不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集為（-∞，0）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)f（x）是解題的關(guān)鍵，是中檔題．